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Revue de Synthèse

0035-1776
 

 ARTICLE VOL 124/1 - 2003  - pp.173-203  - doi:10.1007/BF02963404
TITLE
The intuitions of higher dimensional algebra for the study of structured space

RÉSUMÉ

L’algebra di dimensioni superiori libera la matematica dai limiti delle notazioni puramente lineari, al fine di migliorare la modellizzazione della geometria ed ottenere una migliore comprensione e migliori strumenti di calcolo. Fornisce inoltre nuovi strumenti per strutture non-commutative, dimensioni superiori e passaggi dal locale al globale, grazie alla nozione di «inverso algebrico della suddivisione». Spieghiamo il modo in cui gli autori sono pervenuti a queste idee, estendendo in primo luogo la nozione classica di gruppo astratto a quella di gruppoide astratto, nel quale la composizione è definita solo parzialmente, come nei «percorsi di composizione» in cui si aggiunge una componenente spaziale alla usuale teoria dei gruppi. Viene usato un esempio della teoria dei nodi al fine di spiegare come una tale algebra possa essere usata al fine di descrivere alcune strutture spaziali. L’estensione a due dimensioni usa la composizione dei quadrati in due direzioni e la ricchezza dell’algebra corrispondente è dimostrata da alcuni conti in due dimensioni. La difficoltà del passare da una a due dimensioni è anche illustrata dal raffronto del quadrato commutativo con il cubo commutativo, la cui discussione richiede concetti nuovi. Si spiega infine l’importanza della teoria delle categorie e lo spazio delle applicazioni attuali e possibili dell’algebra di dimensioni superiori.



ABSTRACT

Higher dimensional algebra frees mathematics from the restriction to a purely linear notation, in order to improve the modelling of geometry and so obtain more understanding and more modes of computation. It gives new tools for noncommutative, higher dimensional, local to global problems, through the notion of «algebraic inverse to subdivision». We explain the way these ideas arose for the writters, in extending first the classical notion of abstract group to abstract groupoid, in which composition is only partially defined, as in composing journeys, and which brings a spatial component to the usual group theory: An example from knot theory is used to explain how such algebra can be used to describe some structure of a space. The extension to dimension 2 uses compositions of squares in two directions, and the richness of the resulting algebra is shown by some 2-dimensional calculations. The difficulty of the jump from dimension 1 to dimension 2 is also illustrated by the comparison of the commutative square with the commutative cube-discussion of the latter requires new ideas. The importance of category theory is explained, and a range of current and potential applications of higher dimensional algebra indicated.



AUTEUR(S)
Ronald BROWN, Timothy PORTER

MOTS-CLÉS
algébres de dimensions supérieures, théorie des nœuds, groupes, groupoïdes, théorie des catégories, connections, méthodes cubiques

KEYWORDS
higher dimensional algebra, knot theory, groups, groupoids, category theory, connections, cubical methods

LANGUE DE L'ARTICLE
Anglais

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